Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /28 of 57

Geometry Difficulty 6.8 National olympiad Prove it Russia

Let $\triangle ABC$ be an acute-angled triangle. Points $P$ and $Q$ are chosen on the extensions of its altitudes $BB_1$ and $CC_1$ along the points $B_1$ and $C_1$ respectively so that $\angle PAQ = 90^\circ$ . Let $AF$ be the altitude of triangle $APQ$ . Prove that $\angle BFC = 90^\circ$ . (A. Polyanskiy)

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях его высот BB₁ и CC₁ за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q такие, что угол PAQ — прямой. Пусть AF — высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC — прямой. (А. Полянский)

Solution

Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на $BC$ как на диаметре. Для решения достаточно доказать, что $F$ также лежит на этой окружности, то есть достаточно доказать, что четырёхугольник $CB_1FC_1$ — вписанный.

Так как $\angle AB_1P = \angle AFP = 90^\circ$ , то точки $B_1$ и $F$ лежат на окружности, построенной на $AP$ как на диаметре. Поэтому $\angle PFB_1 = \angle PAB_1$ . Аналогично $\angle QFC_1 = \angle QAC_1$ . Имеем $\angle B_1FC_1 = 180^\circ - \angle PFB_1 - \angle QFC_1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Consequently, $\angle PAB_1 - \angle QAC_1 = 90^\circ - (\angle PAQ - \angle B_1AC_1) = 90^\circ + \angle B_1AC_1 = 90^\circ + (90^\circ - \angle ACC_1) = 180^\circ - \angle B_1CC_1$ . Таким образом, четырёхугольник $CB_1FC_1$ — вписанный.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.