$1008^2 = 1016064$ points.

One may arrange the spheres so that there are $1008$ red and $1008$ green spheres, and each pair of a red and a green sphere is tangent at a separate blue point. Arrange the centers $R_i$ of equal red spheres along a circle centered at $O$, arrange the centers $G_i$ of green spheres along a line passing through $O$ and perpendicular to the plane of the circle (see Fig. 11).

Now, if a green sphere is tangent to one red sphere, it is tangent to all of them.

$1008^2 = 1016064$ точек.

Пусть среди сфер есть $r$ красных и $2016 - r$ зелёных. Так как у любых двух сфер максимум одна точка касания, количество синих точек не превосходит $r(2016 - r) = 1008^2 - (1008 - r)^2 \le 1008^2$.

Предъявим пример с таким количеством синих точек. Пусть $\ell$ — некоторая прямая, $\alpha$ — плоскость, перпендикулярная $\ell$ и пересекающая её в точке $O$, а $\omega$ — окружность с центром $O$ и радиусом $1$, лежащая в $\alpha$. Построим $1008$ красных сфер одинакового радиуса $r < 1$ с различными центрами $R_1, R_2, \dots, R_{1008}$, лежащими на $\omega$.

Пусть $G_1, G_2, \dots, G_{1008}$ — различные точки на $\ell$, удалённые от $O$ на расстояния $d_1, d_2, \dots, d_{1008}$. Тогда расстояние между $G_i$ и любой точкой $R_j$ равно $\sqrt{1 + d_i^2}$. Построим зелёную сферу с центром $G_i$ и радиусом $\sqrt{1 + d_i^2} - r$; тогда она будет касаться всех красных сфер. При этом все точки касания будут попарно различными, поскольку они лежат на отрезках вида $R_j G_i$, которые не имеют общих точек, кроме концов. Значит, в нашей конструкции действительно будут отмечены $1008^2$ синих точек.