Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /34 of 61

Geometry Difficulty 5.7 AIME, harder Prove it Ukraine

Two circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect each other at two distinct points $A$ and $B$ . The tangent line of the circle $\omega_1$ at the point $A$ and the tangent line of the circle $\omega_2$ at the point $B$ meet at point $C$ . The first one of these two lines intersects the circle $\omega_2$ for the second time at point $T$ (distinct from $A$ ). A point $X$ (distinct from $A$ and $B$ ) belongs to the circle $\omega_1$ , and the straight line $XA$ intersects the circle $\omega_2$ for the second time at point $Y$ (distinct from $A$ ). The straight lines $YB$ and $XC$ meet at point $Z$ . Prove that $TZ$ is parallel to $XY$ .

Solution

Нехай точка $X$ розташована на колі $\omega_1$ так, як показано на рисунку (інші випадки її розташування на цьому колі розглядаються аналогічно). Оскільки, як нескладно помітити, $\angle CBT = \angle BAT = \angle BDA$ , то $BT \parallel AD$ . Далі, $\angle AYB = \angle ABD = 180^\circ - \angle DXA$ . Отже, $BY \parallel DX$ . Тепер розглянемо гомотетію з центром у точці $C$ і коефіцієнтом $k = CB/CD$ .

При такій гомотетії пряма $DX$ перейде в паралельну її пряму $BZ$ , а образом точки $X$ буде точка $Z$ . Пряма $DA$ перейде в паралельну її пряму $BT$ , а тому точка $A$ перейде в точку $T$ . Таким чином, $AX \parallel TZ$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.