Ukrainian Mathematical Olympiad

Підставимо $x = 0$ і одержимо, що $f(0) = 0$. Підставляючи до нашого функціонального рівняння $y = -1$ та $y = -\frac{1}{2}$, одержимо, що $f(-x) = -f(x)$ та $f(x) = 2f(\frac{x}{2})$ для будь-яких дійсних $x$. Далі, підставимо $y = \frac{z}{2x}$, де $x \neq 0$, і одержимо, що $f(x+z) = f(x) + f(z)$. Оскільки $f(0+z) = 0 + f(z) = f(0) + f(z)$, то рівність $f(x+z) = f(x) + f(z)$ має місце для всіх дійсних $x$ і $z$ (позаяк кожен розв'язок функціонального рівняння адитивності, очевидно, задовольняє умову $f(x+2xy) = f(x)+2f(xy)$, то ми встановили, що множини розв'язків цих рівнянь співпадають). Легко довести, що $f(kx) = kf(x)$ для довільних $x \in \mathbb{R}$ і $k \in \mathbb{Z}$. Оскільки $f(2011) = f(2011 \cdot 1) = 2011f(1)$, і за умовою $f(2011) = 2012$, то $2012 = 2011f(1)$, $f(1) = \frac{2012}{2011}$, $f(2012) = 2012f(1) = \frac{2012^2}{2011}$.
Відповідь: $f(2012) = \frac{2012^2}{2011}$.