Competition problem — Number theory

Library / /10 of 61

Number theory Difficulty 4.9 AIME Prove it Ukraine

In the decimal form of the number
$34! = 295232799039*041408476186096435*0000000$
two digits are replaced by stars. Find these digits.

Solution

Нехай перша пропущена цифра — $a$ , друга — $b$ . Число $34!$ ділиться без остачі на $9$ та на $11$ . Оскільки сума записаних цифр від ділення на $9$ дає остачу $1$ , то сума $a$ і $b$ від ділення на $9$ має давати остачу $8$ , звідки $(a, b)$ — одна з таких пар цифр
$(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0), (8,9), (9,8).$
За ознакою подільності на $11$ , сума цифр на парних позиціях дає таку саму остачу від ділення на $11$ , що й сума цифр, записаних на непарних позиціях. Звідси $a - b$ від ділення на $11$ дає остачу $4$ . Нескладним перебором одержуємо, що $(a, b) = (6, 2)$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.