Ukrainian Mathematical Olympiad

Покладемо у вихідній нерівності $x = y = z = 0$. Тоді $(f(0) - 1)^2 \le 0$, тобто $f(0) = 1$.

Візьмемо $y = z = 0$ і одержимо, що $f(0) + f(0) \ge f(x)f(0) + 1$. Звідси $f(x) \le 1$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.

Якщо $x = y = z = 1$, то $(f(1) - 1)^2 \le 0$, $f(1) = 1$.

Для $y = z = 1$ маємо: $f(x) + f(x) \ge f(x)f(1) + 1$, $f(x) \ge 1$, $x \in \mathbb{R}$.

Ми встановили, що для всіх $x \in \mathbb{R}$ $f(x) = 1$.

Перевірка показує, що така функція задовольняє умову задачі.