Russian Mathematical Olympiad

Первое решение. Предположим, что $0 < a \le 1$. Тогда при $x = \pi/2$ левая часть примет значение $|\cos(a\pi/2)|$, то есть будет не больше 1, в то время как правая часть будет равна $1 + \sin(a\pi/2)$, то есть она больше 1. Итак, неравенство не выполнено.

Если же $a > 1$, то, обозначив $a x = t$ и $b = 1/a$, мы приведём неравенство из условия к виду $|\cos b t| + |\cos t| > \sin b t + \sin t$, сводя задачу к предыдущему случаю.

Второе решение. Выберем такое $x$, что $x(a+1) = \pi/2$. Тогда $x$ и $a x$ лежат в интервале $(0, \pi/2)$, поэтому $|\cos x| = \cos x = \sin a x$ и $|\cos a x| = \cos a x = \sin x$. Значит, для выбранного $x$ имеем $|\cos x| + |\cos a x| = \sin a x + \sin x$.