Library / Russian Mathematical Olympiad /24 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 5.5 AIME, harder Prove it Russia

A convex hexagon $ABCDEF$ is given. It appears that $\angle FAE = \angle BDC$ , and that each of the quadrilaterals $ABDF$ and $ACDE$ is cyclic. Prove that the lines $BF$ and $CE$ are parallel.

Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ . Известно, что углы $\angle FAE$ и $\angle BDC$ равны, а четырехугольники $ABDF$ и $ACDE$ являются вписанными. Докажите, что прямые $BF$ и $CE$ параллельны.

Solution

Пусть $K$ — точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$ . Поскольку четырёхугольники $ABDF$ и $ACDE$ вписанные, мы имеем $\angle AFB = \angle ADB$ и $\angle ADC = \angle AEC$ . Отсюда и из условия задачи получаем $\angle AKB = \angle AFB + \angle FAE = \angle ADB + \angle BDC = \angle ADC = \angle AEC$ . Итак, $\angle AKB = \angle AEC$ . Это и значит, что $BF \parallel CE$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.