Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /9 of 57

Geometry Difficulty 5.9 AIME, harder Prove it Russia

A circle $\omega$ is tangent to the sides of an angle $BAC$ at $B$ and $C$ . A line $l$ intersects the segments $AB$ and $AC$ at $K$ and $L$ , respectively. The circle $\omega$ meets $l$ at $P$ and $Q$ . The points $S$ and $T$ are chosen on the segment $BC$ so that $KS \parallel AC$ and $LT \parallel AB$ . Prove that the points $P$ , $Q$ , $S$ , and $T$ are concyclic. (I. Bogdanov, P. Kozhevnikov)

Окружность $\omega$ касается сторон угла $BAC$ в точках $B$ и $C$ . Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Окружность $\omega$ пересекает $\ell$ в точках $P$ и $Q$ . Точки $S$ и $T$ выбраны на отрезке $BC$ так, что $KS \parallel AC$ и $LT \parallel AB$ . Докажите, что точки $P, Q, S$ и $T$ лежат на одной окружности.

Solutions — 2

Solution 1

If $l \nmid BC$ , set $X = l \cap BC$ (see Fig. 12). Then $\frac{XB}{XT} = \frac{XK}{XL} = \frac{XS}{XC}$ , so $XT \cdot XS = XB \cdot XC = XP \cdot XQ$ .

Since $B$ , $C$ , $P$ , and $Q$ lie on $\omega$ , we have $XB \cdot XC = XP \cdot XQ$ . Thus, $XT \cdot XS = XP \cdot XQ$ ; this means that the points $P$ , $Q$ , $S$ , and $T$ lie on one circle.

Solution 2

Если $\ell \parallel BC$ , утверждение очевидно в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к $BC$ .
Пусть теперь прямые $\ell$ и $BC$ пересекаются в точке $X$ (см. рис. 12). Из параллельности получаем $\frac{XB}{XT} = \frac{XK}{XL} = \frac{XS}{XC}$ , откуда $XT \cdot XS = XB \cdot XC$ . Поскольку точки $B$ , $C$ , $P$ и $Q$ лежат на $\omega$ ,

имеем $XB \cdot XC = XP \cdot XQ$ . Получаем, что $XT \cdot XS = XP \cdot XQ$ ; это и означает, что точки $P$ , $Q$ , $S$ и $T$ лежат на одной окружности.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.