Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /8 of 57

Geometry Difficulty 5.9 AIME, harder Prove it Russia

At some moment, three different points were marked in the plane. After that, at each minute three marked points are chosen (denote them by $A$ , $B$ , $C$ ), and a point $D$ symmetrical to $A$ with respect to the perpendicular bisector to $BC$ is marked.
A day later, it appeared that there exist three collinear marked points. Prove that three initial points are also collinear. (V. Shmarov)

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их $A$ , $B$ и $C$ , после чего на плоскости отмечалась точка $D$ , симметричная $A$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$ .
Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой. (В. Шмаров)

Solution

Предположим противное; тогда исходные три точки лежат на некоторой окружности $\omega$ . Докажем индукцией по количеству минут, что все отмеченные точки также лежат на $\omega$ . Действительно, изначально это верно. Пусть в некоторый момент по точкам $A$ , $B$ , $C$ строится точка $D$ . Тогда серединный перпендикуляр $\ell$ к $BC$ проходит через центр $\omega$ , значит, эта окружность симметрична относительно $\ell$ . Так как точка $A$ лежит на $\omega$ , то и $D$ также на ней лежит.

Итак, через сутки все отмеченные точки лежат на $\omega$ . Но любая прямая пересекает $\omega$ не более, чем по двум различным точкам; значит, на ней не найдётся трёх отмеченных точек. Противоречие.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.