Library / Ukrainian Mathematical Olympiad /4 of 49

Ukrainian Mathematical Olympiad

Algebra Difficulty 4.8 AIME Prove it Ukraine

Real numbers $x, y \in (0, \pi)$ satisfy the equality
$\cos 2x \cos y - \cos 2y \cos x = \cos y - \cos x.$
Show that $x = y$ .

Solution

Запишемо дану рівність у вигляді $\cos^2 x \cos y - \cos^2 y \cos x = \cos y - \cos x$ , $(\cos x \cos y + 1)(\cos x - \cos y) = 0$ . Оскільки для $x \in (0; \pi)$ і $y \in (0; \pi)$ $\cos x \cos y > -1$ , то $\cos x = \cos y$ , і тому, враховуючи спадання функції $f(t) = \cos t$ на проміжку $(0; \pi)$ , маємо, що $x = y$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.