$M$ 可以是任何大於或等於 2 的正整數，即 $M \ge 2$。
首先對所有的非負整數 $k$，定義 $b_k = 2a_k$。則有
$$b_{k+1} = 2a_{k+1} = 2a_k \lfloor a_k \rfloor = b_k \left\lfloor \frac{b_k}{2} \right\rfloor.$$
因為 $b_0$ 是整數 $2M+1$，所以數列 $\langle b_k \rangle$ 的每一項都是整數。
用歸謬法。如果 $\langle a_k \rangle$ 的每一項都不是整數，則 $\langle b_k \rangle$ 的每一項都是奇數。故
$$b_{k+1} = b_k \left\lfloor \frac{b_k}{2} \right\rfloor = \frac{b_k(b_k-1)}{2} \quad (1)$$
所以
$$b_{k+1} - 3 = \frac{b_k(b_k-1)}{2} - 3 = \frac{(b_k-3)(b_k+2)}{2} \quad (2)$$
對所有的 $k \ge 0$ 均成立。
設 $b_0 - 3 > 0$。則由 (2) 式可推得 $b_k - 3 > 0$ 對所有的 $k \ge 0$ 均成立。現在對每一個 $k \ge 0$，定義 $c_k$ 為整除 $b_k - 3$ 之 2 的最高乘幂 (即 $2^{c_k} \parallel (b_k - 3)$)。因為每一個 $b_k - 3$ 都是偶數，所以 $c_k$ 都是正整數。
注意到 $b_k+2$ 總是奇數。故由 (2) 式知 $c_{k+1} = c_k - 1$。於是 $c_0, c_1, c_2, \dots$ 為嚴格遞減的正整數數列，此為不可能。故 $b_0 - 3 < 0$，即 $M = 1$。
當 $M = 1$ 時，$\langle a_k \rangle$ 為常數數列 $\frac{3}{2}$。所以本題解答為 $M \ge 2$。