Первое решение. Предположим, что сумма цифр числа $8^m$ при некотором $m > 1$ равна $8$, и оно оканчивается на $6$. Число $2^m$ не может оканчиваться на $06$ или на $26$, так как в этом случае оно не делится на $4$. Следовательно, оно оканчивается на $16$ (иначе сумма цифр будет больше $8$), и поэтому имеет десятичную запись $1000\ldots016$. Тогда $8^m = 10^k + 16$, то есть число $10^k + 16$ -- степень двойки.

Но если $k \ge 5$, то $10^k + 16 = 2^4(2^{k-4} \cdot 5^k + 1)$, и в скобках получаем нечетный множитель, больший $1$. Остается рассмотреть случаи $k = 2, k = 3, k = 4$: $10^2 + 16 = 4 \cdot 29$; $10^3 + 16 = 8 \cdot 127$; $10^4 + 16 = 32 \cdot 313$. Таким образом, $10^k + 16$ не является степенью восьмерки ни при каком натуральном $k$, что и требовалось доказать.

Второе решение. Предположим противное, и пусть $8^m$ оканчивается на $6$ и имеет сумму цифр, равную $8$. Заметим, что $8^1$ оканчивается на $8$, $8^2$ оканчивается на $4$, $8^3$ оканчивается на $2$, $8^4$ оканчивается на $6$, $8^5$ оканчивается на $8$. Далее последняя цифра степени восьмерки повторяется с периодом $4$, поскольку последняя цифра числа $8^m$ определяется однозначно последней цифрой числа $8^{m-1}$. Таким образом, $8^m$ оканчивается на $6$ тогда и только тогда, когда $m$ делится на $4$.

Сумма цифр числа имеет тот же остаток при делении на $3$, что и само число, поэтому $8^m$ должно иметь остаток $2$ при делении на $3$. Заметим, что $8^1$ имеет остаток $2$ при делении на $3$, $8^2$ имеет остаток $1$ при делении на $3$, $8^3$ имеет остаток $2$ при делении на $3$, и далее остатки степени восьмерки повторяются с периодом $2$. Таким образом, $8^m$ имеет остаток $2$ при делении на $3$ тогда и только тогда, когда $m$ нечетно. Это противоречит тому, что $m$ должно делиться на $4$.