Russian Mathematical Olympiad

Поскольку четырёхугольники $BCPY$ и $BAQX$ вписаны, получаем, что $\angle APY = \angle ABC = \angle CQX$. Пусть прямая, проходящая через $M$ параллельно $QX$, пересекает прямую $BC$ в точке $K$, а прямая, проходящая через $M$ параллельно $PY$, пересекает прямую $AB$ в точке $L$ (см. рис. 13).

Рис. 13

Тогда $\angle AML = \angle ABC = \angle CMK$, откуда $\angle ALM = 180^\circ - \angle LAM - \angle AML = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = \angle ACB$. Значит, треугольники $MAL$ и $MKC$ подобны по двум углам.

Из условия имеем $AP = AM - PM = PQ - PM = MQ$; аналогично, $CQ = PM$. Отсюда $AY/YL = AP/PM = MQ/QC = KX/XC$. Значит, $Y$ и $X$ — соответственные точки в подобных треугольниках $MAL$ и $MKC$. Следовательно, $\angle MXC = \angle MYL = \angle MYB$. Это и означает, что четырёхугольник $BYMX$ вписан.

Выберем на отрезке $PQ$ точку $Z$ такую, что $CQ = QZ$ (см. рис. 14). Тогда, так как $AC = 2PQ$, имеем $AP + QC = AC - PQ = PQ$, откуда $PZ = PQ - QZ = PQ - QC = AP$.

Рис. 14

Из вписанности четырёхугольника $BYPC$ имеем $AB \cdot AY = AP \cdot AC = 2AP \cdot \frac{AC}{2} = AZ \cdot AM$. Аналогично получаем, что $CX \cdot CB = CZ \cdot CM$. Если $Z \neq M$, полученные равенства означают, что каждая из четвёрок точек $B, Y, Z, M$ и $B, X, Z, M$ лежит на одной окружности, то есть точки $X$ и $Y$ лежат на окружности, описанной около треугольника $BMZ$. Отсюда и следует требуемое.

Наконец, если $Z = M$, то те же равенства означают, что точки $X$ и $Y$ лежат на (единственной!) окружности, проходящей через $B$ и касающейся $AC$ в точке $M$, откуда опять же следует требуемое.