Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /9 of 152

Geometry Difficulty 5.1 AIME, harder Prove it Russia

Let $\Omega$ and $O$ be the circumcircle and the circumcenter of a triangle $ABC$ . A circle with diameter $AO$ intersects the circumcircle of the triangle $OBC$ at point $S \neq O$ . The tangents to $\Omega$ at points $B$ and $C$ meet at point $P$ . Prove that the points $A$ , $S$ , and $P$ are collinear. (R. Sadykov)

Solution

Поскольку $CP$ и $BP$ — касательные к $\Omega$ , имеем $\angle OBP = \angle OCP = 90^\circ$ ; значит, точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $OBC$ , и $PO$ — диаметр этой окружности (см. рис. 4). Поэтому $\angle OSP = 90^\circ$ .

Далее, поскольку $AO$ — диаметр окружности, проходящей через $A$ , $S$ и $O$ , получаем $\angle ASO = 90^\circ$ .

Итак, точки $A$ и $P$ лежат на перпендикуляре к $OS$ , проходящем через точку $S$ . Отсюда и следует утверждение задачи.

Рис. 4

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.