Первое решение. Покажем, что в выпуклом $n$-угольнике максимальное количество диагоналей, которое можно провести указанным способом, равно $2n - 6$; при $n = 2011$ тогда получится указанный ответ. Пусть $A_1A_2...A_n$ — данный многоугольник. Тогда Петя может провести последовательно диагонали $A_2A_4, A_3A_5, A_4A_6, ..., A_{n-2}A_n$, а затем — диагонали $A_1A_3, A_1A_4, A_1A_5, ..., A_1A_{n-1}$, итого $2n - 6$ диагоналей. На рисунке приведён пример при $n = 9$.

Покажем теперь индукцией по $n$, что больше $2n - 6$ диагоналей в выпуклом $n$-угольнике провести описанным способом нельзя. База при $n = 3$ тривиальна. Для перехода рассмотрим процесс проведения диагоналей в многоугольнике $A_1A_2...A_n$. Пусть для определённости $A_1A_k$ — последняя проведённая диагональ. Тогда по условию она пересекает не более, чем одну проведённую ранее диагональ (обозначим её $d$, если она существует).

Далее, все диагонали, кроме $A_1A_k$ и, возможно, $d$, проводились либо в $k$-угольнике $A_1A_2...A_k$, либо в $(n + 2 - k)$-угольнике $A_kA_{k+1}...A_nA_1$, при этом в каждом из этих многоугольников они проводились с выполнением условий. Значит, по предположению индукции, этих диагоналей не больше $(2k - 6) + (2(n + 2 - k) - 6) = 2n - 8$. Учитывая две диагонали $A_1A_k$ и $d$, получаем, что общее количество не больше $2n - 8 + 2 = 2n - 6$, что и требовалось.

Второе решение. Приведём другое доказательство того, что в выпуклом $n$-угольнике можно провести не более $2n - 6$ диагоналей с соблюдением условия задачи.

Будем красить проводимые диагонали в красный и синий цвета так. Первую диагональ окрасим синим; далее, если вновь проведённая диагональ пересекает синюю, то окрасим её красным, иначе — синим. Тогда ясно, что одноцветные диагонали не будут пересекаться по внутренним точкам.

Докажем, что диагоналей каждого цвета не больше $n - 3$; отсюда будет следовать, что всего их не более $2(n - 3)$. Действительно, пусть есть $k$ одноцветных диагоналей. Поскольку они не имеют общих внутренних точек, они разбивают $n$-угольник на $k+1$ многоугольников. У каждого многоугольника хотя бы три стороны, значит, суммарное количество $S$ их сторон не меньше $3(k+1)$. С другой стороны, стороны этих многоугольников — это наши диагонали (каждая посчитана по два раза) и стороны исходного $n$-угольника (посчитанные по одному разу). Значит, $S = n + 2k$. Итак, $n + 2k \ge 3(k+1)$, или $k \le n - 3$, что и требовалось доказать.