Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай для деякого парного числа $k$ і натурального числа $l$ виконується рівність $(k-3)(k-1)(k+1)(k+3) = l^3$, тобто $(k^2-9)(k^2-1) = l^3$. Якщо числа $k^2-9$ і $k^2-1$ мають спільний простий дільник, то він є дільником їхньої різниці, а тому дорівнює 2. Але числа $k^2-9$ і $k^2-1$ непарні, отже вони взаємно прості і кожне з них є точним кубом. Відтак, $k^2-9 = n^3$ та $k^2-1 = m^3$, де $m, n \in \mathbb{N}$. Звідси $m^3-n^3=8$, тобто $(m-n)(m^2+mn+n^2) = 8$. Оскільки $m-n < m^2+mn+n^2$, то можливі лише два випадки:
$$\begin{cases} m-n=1, \\ m^2+mn+n^2=8; \end{cases} \text{або} \begin{cases} m-n=2, \\ m^2+mn+n^2=4. \end{cases}$$
Перша система не має розв'язків у натуральних числах, бо коли $m-n=1$, то $m$ і $n$ мають різну парність, а тоді $m^2+mn+n^2$ — непарне число.
Друга система також не має розв'язків у натуральних числах, бо коли $m-n=2$, то $m \geq 3$, а тоді $m^2+mn+n^2 > m^2 \geq 9$. Отже, вказаний добуток не може бути точним кубом.