Первое решение. Без ограничения общности можно считать, что $x_1$ — наибольшее (или одно из наибольших) среди данных чисел. Тогда из равенства $x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = x_2^2 - x_2x_3 + x_3^2$ следует $x_1^2 - x_3^2 - x_1x_2 + x_2x_3 = 0 \Leftrightarrow (x_1 - x_3)(x_1 + x_3) - x_2(x_1 - x_3) = 0 \Leftrightarrow (x_1 - x_3)(x_1 + x_3 - x_2) = 0$. В силу выбора числа $x_1$ имеем $x_1 \ge x_2$; поэтому $x_1 - x_2 \ge 0$, значит, $x_1 + x_3 - x_2 > 0$. Отсюда следует, что $x_1 - x_3 = 0$, то есть $x_3 = x_1$, и $x_3$ — также одно из наибольших среди данных чисел.
Рассуждая далее таким же образом, получаем: $x_5 = x_3$, $x_7 = x_5$, \ldots $x_{2009} = x_{2007}$, $x_2 = x_{2009}$, $x_4 = x_2$, \ldots, $x_{2008} = x_{2006}$. Таким образом, все данные 2009 чисел равны.

Второе решение. Запишем исходные равенства в виде:
$$x_1(x_1 - x_2) = -x_3(x_2 - x_3)$$
$$x_2(x_2 - x_3) = -x_4(x_3 - x_4)$$
$$x_{2009}(x_{2009} - x_1) = -x_2(x_1 - x_2).$$
Предположим, что $x_1 - x_2 > 0$. Тогда, последовательно используя все равенства, получаем $x_2 - x_3 < 0$, $x_3 - x_4 > 0$, $x_4 - x_5 < 0$, $x_5 - x_6 > 0$, \ldots, $x_{2009} - x_1 > 0$, $x_1 - x_2 < 0$, что противоречит предположению. Аналогично приводится к противоречию предположение о том, что $x_1 - x_2 < 0$.
Если же $x_1 - x_2 = 0$, то последовательно получаем $x_2 - x_3 = 0$, $x_3 - x_4 = 0$, \ldots, $x_{2009} - x_1 = 0$, откуда $x_1 = x_2 = \dots = x_{2009}$.