90°.

Обозначим через $N$ и $M$ середины отрезков $KC$ и $AC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия в треугольнике $AKC$, поэтому $\angle BAC = \angle NMC$. Кроме того, $\angle BAC = \angle BDC$, так как четырехугольник $ABCD$ — вписанный.

Пусть точки $M$ и $N$ лежат с одной стороны от прямой $BD$. Тогда $M$ лежит внутри треугольника $BCD$; тогда она лежит внутри треугольника $BND$, а значит, и внутри его описанной окружности. Но тогда точки $B, N, D$ и $M$ не могут лежать на одной окружности. Значит, $N$ и $M$ лежат по разные стороны от $BD$, и $\angle BDC = \angle BMN$.

Из параллельности $MN$ и $AK$ вытекает, что $\angle BMN = \angle ABM$, откуда $\angle BAC = \angle BDC = \angle ABM$. Отсюда получаем $AM = MB$, то есть в треугольнике $ABC$ медиана $BM$ равна половине стороны $AC$, откуда $\angle ABC = 90^\circ$, а значит, и $\angle ADC = 90^\circ$.