Побудуємо на стороні $BC$ даного трикутника зовні нього рівносторонній трикутник $BCA_2$. Унаслідок умови задачі, $\angle ABC_1 = \angle ACB_1 = 90^\circ$ і $\angle A_1BA_2 = \angle A_1CA_2 = 90^\circ$, а внаслідок рівності трикутників $A_1BA_2$ і $A_1CA_2$ (за двома катетами) маємо: $\angle A_1A_2B = \angle A_1A_2C = 30^\circ$. З подібності трикутників $ABC_1$ і $A_2BA_1$ (за двома кутами) випливає, що $\frac{BC_1}{BA_1} = \frac{BA}{BA_2}$, звідки $\frac{BA}{BC_1} = \frac{BA_2}{BA_1}$, і $\angle ABA_2 = \angle C_1BA_1$. Тому трикутники $C_1BA_1$ і $ABA_2$ подібні (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси $\angle C_1A_1B = \angle AA_2B$. Аналогічно, $\angle B_1A_1C = \angle AA_2C$, тому

$$\angle C_1A_1B + \angle CA_1B_1 = \angle AA_2B + \angle AA_2C = \angle BA_2C = 60^\circ.$$
Відтак,
$$\angle C_1A_1B_1 = \angle C_1A_1B + \angle BA_1C + \angle CA_1B_1 = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ.$$
Отже, точки $A_1$, $B_1$ і $C_1$ лежать на одній прямій.