Library / Ukrainian Mathematical Olympiad /42 of 49

Ukrainian Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 6.5 National Olympiad Prove it Ukraine

On the sides $AB$ and $AC$ of an acute triangle $ABC$ triangles $ABC_1$ and $AB_1C$ are constructed outside with $\angle BAC_1 = \angle B_1AC = 30^\circ$ , $\angle AC_1B = \angle CB_1A = 60^\circ$ . A point $A_1$ inside $ABC$ is such that $\angle CBA_1 = \angle BCA_1 = 30^\circ$ . Prove that the points $A_1$ , $B_1$ and $C_1$ are collinear.

Solution

Побудуємо на стороні $BC$ даного трикутника зовні нього рівносторонній трикутник $BCA_2$ . Унаслідок умови задачі, $\angle ABC_1 = \angle ACB_1 = 90^\circ$ і $\angle A_1BA_2 = \angle A_1CA_2 = 90^\circ$ , а внаслідок рівності трикутників $A_1BA_2$ і $A_1CA_2$ (за двома катетами) маємо: $\angle A_1A_2B = \angle A_1A_2C = 30^\circ$ . З подібності трикутників $ABC_1$ і $A_2BA_1$ (за двома кутами) випливає, що $\frac{BC_1}{BA_1} = \frac{BA}{BA_2}$ , звідки $\frac{BA}{BC_1} = \frac{BA_2}{BA_1}$ , і $\angle ABA_2 = \angle C_1BA_1$ . Тому трикутники $C_1BA_1$ і $ABA_2$ подібні (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси $\angle C_1A_1B = \angle AA_2B$ . Аналогічно, $\angle B_1A_1C = \angle AA_2C$ , тому

$\angle C_1A_1B + \angle CA_1B_1 = \angle AA_2B + \angle AA_2C = \angle BA_2C = 60^\circ.$
Відтак,
$\angle C_1A_1B_1 = \angle C_1A_1B + \angle BA_1C + \angle CA_1B_1 = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ.$
Отже, точки $A_1$ , $B_1$ і $C_1$ лежать на одній прямій.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.