Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /50 of 61

Geometry Difficulty 6.5 National olympiad Prove it Ukraine

Let $ABCD$ be a parallelogram. The incircle of triangle $ABC$ touches its sides $AB$ , $BC$ and $AC$ at points $M$ , $N$ and $K$ respectively. The lines $MK$ and $CD$ intersect at $P$ , the lines $NK$ and $AD$ intersect at $Q$ . Prove that the points $B$ , $E$ and $F$ are collinear, where $E$ and $F$ are the midpoints of $MP$ and $NQ$ respectively.

Solution

Оскільки $AM = AK$ , $CN = CK$ як дотичні, то трикутники $MAK$ та $NCK$ рівнобедрені. Звідси $\angle AMK = \angle AKM$ , і $\angle CNK = \angle CKN$ .

Далі, $\angle AMK = \angle CPK$ і $\angle AQK = \angle CNK$ як різносторонні при паралельних прямих. Крім того, $\angle AKM = \angle CKP$ і $\angle AKQ = \angle CKN$ як вертикальні. Отже,
$\angle AKQ = \angle AQK$ і $\angle CKP = \angle CPK$ , тобто трикутники $KAQ$ і $KCP$ рівноберені. Звідси $AM = AK = AQ$ , $CN = CK = CP$ , тобто трикутники $MAQ$ і $NCP$ рівноберені.

Нехай $I$ — центр кола, вписаного в трикутник $ABC$ , тоді $BI$ — серединний перпендикуляр відрізка $MN$ і бісектриса кута $ABC$ . З рівнобереного трикутника $MAQ$ знаходимо $\angle AMQ = \frac{180^\circ - \angle MAQ}{2} = \frac{\angle ABC}{2} = \angle ABI$ , тобто $MQ \parallel BI$ . Аналогічно $NP \parallel BI$ .

Відтак, $MQ \parallel NP \parallel BI$ і $BI$ проходить через середину $MN$ . За теоремою Фалеса, $BI$ проходить через середини відрізків $MP$ і $NQ$ , що й завершує доведення.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.