Крім того, покладемо
$$\delta(a,P,Q,R) = \delta(a,P,Q) + \delta(a,Q,R) + \delta(a,P,R).$$
Розглянемо довільні три відмічені точки $P$, $Q$, $R$. Очевидно, що
$$n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR} = \sum_{a} \delta(a,P,Q,R),$$
де сума береться по всіх проведених прямих.
Легко бачити, що якщо пряма $a$ проходить через дві з точок $P$, $Q$, $R$, то маємо рівність $\delta(a,P,Q,R)=0$. Якщо пряма $a$ проходить рівно через одну з них, то $\delta(a,P,Q,R) \in \{0;1\}$. А якщо пряма $a$ не проходить через жодну, то маємо, що $\delta(a,P,Q,R) \in \{0;2\}$.
Розглянувши всі сім усіляких випадків взаємного розташування чотирьох точок на площині, одержуємо, що для будь-якої точки $X$ з решти $2002$ відмічених точок або серед трьох прямих $XP$, $XQ$, $XR$ тільки одна розділяє дві точки з числа точок $P$, $Q$, $R$, або ж кожна з прямих $XP$, $XQ$, $XR$ має таку властивість. Отже, парність числа $n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR}$ визначається кількістю зазначених вище точок $X$, а їх саме $C_{2002}^1 = 2002$. Таким чином, ми довели, що число $n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR}$ є парним для будь-яких трьох відмічених точок $P$, $Q$, $R$. А тому серед чисел $n_{PQ}$, $n_{QR}$, $n_{PR}$ парними є або всі три, або ж — тільки одне. З цього випливає, що якщо для якоїсь точки $P$ пофарбувати всі ті точки $Q$, для яких $n_{PQ}$ парне, у той самий колір, що й точку $P$, а решту точок — у другий колір, то таке розфарбування буде задовольняти умову.