Доведення леми. Розглянемо три можливі випадки взаємного розташування п’яти точок.
1. Пряма $XY$ паралельна площині $PQR$. Тоді серед трьох прямих, що проходять через точки $P, Q, R$ паралельно $XY$, тільки одна лежить між двома іншими. Відповідна площина розділяє точки, а дві інші площини цього не роблять.
2. Пряма $XY$ перетинає площину $PQR$ в точці $O$, що лежить зовні трикутника $PQR$. Тоді три промені $OP, OQ, OR$ лежать усередині певного розгорнутого кута з вершиною в точці $O$, отже рівно один з них проходить між двома іншими. Відповідна площина розділяє точки, а дві інші площини цього не роблять.
3. Пряма $XY$ перетинає площину $PQR$ в точці $O$, що лежить усередині трикутника $PQR$. Тоді кожна з прямих $OP, OQ, OR$ перетинає одну зі сторін трикутника, тому кожна з трьох площин розділяє точки.

Розв’язання задачі. Нехай $n_{PQ}$ позначає кількість проведених площин, які розділяють точки $P$ і $Q$. Покладемо $\delta(\alpha, P, Q) = 0$, якщо площина $\alpha$ не розділяє точки $P$ і $Q$, і нехай $\delta(\alpha, P, Q) = 1$, якщо розділяє.
Нехай $\delta(\alpha, P, Q, R) = \delta(\alpha, P, Q) + \delta(\alpha, Q, R) + \delta(\alpha, P, R)$. Розглянемо довільні три відмічені точки $P, Q, R$. Очевидно, що $n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR} = \sum_{\alpha} \delta(\alpha, P, Q, R)$, де сума береться по всіх проведених площинах. Легко бачити, що якщо площина $\alpha$ проходить через три або дві з точок $P, Q, R$, то $\delta(\alpha, P, Q, R) = 0$, а якщо не проходить через жодну, то $\delta(\alpha, P, Q, R) \in \{0; 2\}$.

Розглядаючи площини, які проходять рівно через одну з точок $P, Q, R$, застосуємо лему і одержимо, що для кожної пари точок $X, Y$, відмінних від $P, Q, R$, $\delta(XYP,P,Q,R) + \delta(XYQ,P,Q,R) + \delta(XYR,P,Q,R) \in \{1; 3\}$. З цього робимо висновок, що парність числа $n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR}$ визначається кількістю зазначених вище пар $X, Y$, а таких пар буде $C_{2002}^2$ (а таке число є непарним). Таким чином ми довели, що число $n_{PQ} + n_{QR} + n_{PR}$ є непарним для будь-яких трьох відмічених точок $P, Q, R$. Інакше кажучи, серед чисел $n_{PQ}$, $n_{QR}$ і $n_{PR}$ непарними є або всі три, або тільки одне. З цього випливає, що якщо для якоїсь точки $P$ пофарбувати всі ті точки $Q$, для яких $n_{PQ}$ непарне, у той самий колір, що й точку $P$, а решту точок — у другий колір, то таке розфарбування буде задовольняти умову.