Заметим, что $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b(b+1)}$ для любых положительных $a$ и $b$. Значит, после переноса всех членов в левую часть требуемое неравенство приобретает вид
$$\frac{y-x}{y(y+1)} + \frac{z-y}{z(z+1)} + \frac{x-z}{x(x+1)} \le 0. \quad (1)$$
Можно считать, что $x$ — наибольшее из трёх данных чисел. Возможны два случая.

Случай 1. $y \ge z$. В этом случае имеем
$$\frac{x-y}{x(x+1)} \le \frac{x-y}{y(y+1)}, \quad \frac{y-z}{x(x+1)} \le \frac{y-z}{z(z+1)}.$$
Складывая эти неравенства, получаем
$$\frac{x-z}{x(x+1)} \le -\frac{y-x}{y(y+1)} - \frac{z-y}{z(z+1)},$$
что равносильно (1).

Случай 2. $y < z$. Тогда имеем
$$\frac{z-y}{z(z+1)} \le \frac{z-y}{y(y+1)}, \quad \frac{x-z}{x(x+1)} \le \frac{x-z}{y(y+1)}.$$
Складывая эти неравенства, получаем
$$\frac{z-y}{z(z+1)} + \frac{x-z}{x(x+1)} \le -\frac{y-x}{y(y+1)},$$
что опять же равносильно (1).