Competition problem — Number theory

Library / /16 of 57

Number theory Difficulty 6.2 National olympiad Prove it Russia

A positive integer $N$ is presented in the form $N = a_1 - a_2 = b_1 - b_2 = c_1 - c_2 = d_1 - d_2$ , where $a_1$ and $a_2$ are perfect squares, $b_1$ and $b_2$ are perfect cubes, $c_1$ and $c_2$ are perfect 5th powers, and $d_1$ and $d_2$ are perfect 7th powers. Under the conditions above, determine whether two of the numbers $a_1, b_1, c_1, d_1$ should necessarily be equal.
(A. S. Golovanov)

Натуральное число $N$ представляется в виде $N = a_1 - a_2 = b_1 - b_2 = c_1 - c_2 = d_1 - d_2$ , где $a_1$ и $a_2$ — квадраты, $b_1$ и $b_2$ — кубы, $c_1$ и $c_2$ — пятые степени, а $d_1$ и $d_2$ — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел $a_1, b_1, c_1$ и $d_1$ найдутся два равных?
(А. С. Голованов)

Solutions — 2

Solution 1

No.
Set $N = (3^2 - 2^2)^{105}(3^3 - 2^3)^{70}(3^5 - 2^5)^{126}(3^7 - 2^7)^{120}$ . Then
$N = M_2^2(3^2 - 2^2) = M_3^3(3^3 - 2^3) = M_5^5(3^5 - 2^5) = M_7^7(3^7 - 2^7),$
where none of the $M_i$ is divisible by $2$ or $3$ .

$N = (3M_2)^2 - (2M_2)^2 = (3M_3)^3 - (2M_3)^3 = (3M_5)^5 - (2M_5)^5 = (3M_7)^7 - (2M_7)^7.$
Even all eight numbers involved in the representations are distinct, since any two of them have a different power of either $2$ or $3$ .

Solution 2

Нет, не обязательно.
Приведём пример числа $N$ , для которого все указанные числа будут различными. Положим
$N = (3^2 - 2^2)^{105} (3^3 - 2^3)^{70} (3^5 - 2^5)^{126} (3^7 - 2^7)^{120}.$
Тогда
$N = M_2^2(3^2 - 2^2) = M_3^3(3^3 - 2^3) = M_5^5(3^5 - 2^5) = M_7^7(3^7 - 2^7)$
при некоторых натуральных $M_2, M_3, M_5$ и $M_7$ , не делящихся ни на $2$ , ни на $3$ . Отсюда
$N = (3M_2)^2 - (2M_2)^2 = (3M_3)^3 - (2M_3)^3 = (3M_5)^5 - (2M_5)^5 = (3M_7)^7 - (2M_7)^7.$
Даже все восемь чисел, участвующих в представлениях, различны, поскольку у любых двух из них разная степень вхождения либо двойки, либо тройки.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.