Library / Russian Mathematical Olympiad /53 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Algebra Difficulty 6.0 AIME, harder Prove it Russia

Let $a, b, c$ be three positive numbers such that $a + b^2 + c^2 = a^2 + b + c^2 = a^2 + b^2 + c$ . Determine whether all three numbers $a, b, c$ should necessarily be equal. (L. Emelyanov)

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны? (Л. Емельянов)

Solution

Ответ. Нет, неверно.
Подойдёт, например, тройка $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ .

Замечание. Все такие тройки можно получить, решив соответствующую систему: $a + b^2 + c^2 = a^2 + b + c^2 = a^2 + b^2 + c$ . Из первых двух равенств имеем $a^2 - a = b^2 - b$ ; перенося всё в левую часть, получаем $(a - b)(a + b - 1) = 0$ . Значит, $a = b$ или $b = 1 - a$ ; аналогичные утверждения верны для остальных пар чисел. Итого, кроме троек из равных чисел, подходят все тройки вида $a, a, 1 - a$ и только они.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.