$k = 2(2015 - 1500) = 1030$.
To win with $1030$ detectors, it suffices to locate them in the $515$ leftmost cells of the middle row and in the $515$ topmost cells of the middle column.

For the estimate, notice that the union of any two vertical $1500 \times 1$ rectangles differing by a horizontal $1500$-shift should contain at least one detector; a similar claim holds for horizontal rectangles. Consider such pairs of vertical rectangles located in the bottom $1500$ rows, as well as those located in the top $1500$ rows. Consider also similar pairs of horizontal rectangles. Each of these $2 \cdot 1030$ pairs contains a detector, and each detector is covered by at most two such pairs.

Note. There exist many other examples of arrangements of $1030$ detectors that satisfy the requirements.

$k = 2(2015 - 1500) = 1030$.
Покажем, что $1030$ детекторов Диме хватит. Пусть он расположит $515$ детекторов в $515$ левых клетках средней строки квадрата, а остальные $515$ детекторов — в $515$ верхних клетках среднего столбца. Заметим, что при любом положении корабля его левый столбец лежит в одном из $516$ левых столбцов доски.

Если этот столбец — один из $515$ самых левых, то корабль накроет детектор из этого столбца, лежащий в средней строке, иначе ни одного детектора из этой строки корабль не накроет. Значит, по показаниям детекторов из этой строки восстанавливается, в каких столбцах лежит корабль. Аналогично, строки, в которых он находится, восстанавливаются по показаниям детекторов из среднего столбца.

Рассмотрим теперь произвольную расстановку $k$ детекторов, удовлетворяющих требованиям. Рассмотрим два положения корабля, отличающихся горизонтальным сдвигом на $1$. Показания какого-то детектора для них будут различаться, только если этот детектор лежит в самом левом столбце левого корабля или в самом правом столбце правого. Значит, в любых двух вертикальных прямоугольниках $1500 \times 1$, отличающихся горизонтальным сдвигом на $1500$, есть хотя бы один детектор. Аналогично, в любых двух горизонтальных прямоугольниках $1 \times 1500$, отличающихся вертикальным сдвигом на $1500$, есть хотя бы один детектор. Назовём такие пары прямоугольников вертикальными и горизонтальными, соответственно.

Выделим все вертикальные пары, лежащие в нижних $1500$ и в верхних $1500$ строках доски (таких пар $2 \cdot 515 = 1030$). Аналогично, выделим все $1030$ горизонтальных пар, лежащих в левых $1500$ и в правых $1500$ столбцах. Разобьём доску на $9$ прямоугольных областей так, как показано на рис. 10. Выделенные пары не покрывают клеток из $E$; каждая же клетка в остальных областях покрыта двумя выделенными парами (в $D$ и $F$ — двумя вертикальными, в $B$ и $H$ — двумя горизонтальными, а в областях $A, C, G$ и $I$ — одной горизонтальной и одной вертикальной). Итак, каждый детектор лежит не более, чем в двух выделенных парах; значит, чтобы в каждой выделенной паре был хотя бы один детектор, требуется не менее $2 \cdot 1030/2 = 1030$ детекторов.

Рис. 10

Замечание. Существует много других примеров расположения $1030$ детекторов, удовлетворяющих требованиям.