Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /25 of 57

Geometry Difficulty 6.7 National olympiad Prove it Russia

Let $O$ be the center of a rectangle $ABCD$ . Point $K$ is chosen on the circumcircle of the rectangle. Line $CK$ intersects segment $AD$ at point $M$ . Given that $AM : MD = 2$ , prove that the meeting point of the medians of triangle $OKD$ lies on the circumcircle of triangle $COD$ .

На окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$ , выбрана точка $K$ . Оказалось, что прямая $CK$ пересекает отрезок $AD$ в точке $M$ такой, что $AM : MD = 2$ . Пусть $O$ — центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $OKD$ лежит на окружности, описанной около треугольника $COD$ . (В. Шмаров)

Solution

Отметим на продолжении отрезка $AD$ такую точку $T$ , что $AT = DM$ . Тогда прямоугольные треугольники $CDM$ и $BAT$ равны, а значит, $BT \parallel CM$ . Заметим, что $DT = DA + AT = 3DM + DM = 4DM$ . По теореме Фалеса, прямая $CM$ пересекает отрезок $BD$ в точке $N$ такой, что $DB = 4DN$ . Значит, $DN = NO$ , то есть $KN$ — медиана треугольника $OKD$ .

Пусть $S$ — точка пересечения медиан треугольника $OKD$ . Поскольку $OD = OK$ , точка $S$ лежит на биссектрисе угла $KOD$ , и $\angle SOD = \frac{1}{2} \angle KOD$ . С другой стороны, вписанный угол $KCD$ равен половине центрального угла $KOD$ , откуда $\angle SOD = \frac{1}{2} \angle KOD = \angle SCD$ . Это и означает, что точки $S, D, O, C$ лежат на одной окружности.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.