Russian Mathematical Olympiad

Заметим сразу, что все корни наших уравнений — ненулевые, поскольку свободные члены не равны нулю.

Пусть $p$ — общий корень первых двух уравнений. Тогда имеем
$$\begin{aligned} 0 &= b(a p^{11} + b p^4 + c) - a(b p^{11} + c p^4 + a) = p^4 (b^2 - a c) - (a^2 - b c), \\ 0 &= b(b p^{11} + c p^4 + a) - c(a p^{11} + b p^4 + c) = p^{11} (b^2 - a c) - (c^2 - a b). \end{aligned}$$

Отсюда следует, что если одно из чисел $A = a^2 - b c$, $B = b^2 - a c$, $C = c^2 - a b$ равно нулю, то и все три равны нулю. Но тогда $a/b = b/c = c/a$, а поскольку произведение этих чисел равно 1, то и все они равны 1, то есть $a = b = c$. В этом случае утверждение задачи очевидно.

В противном случае все три числа $A, B, C$ ненулевые. Тогда $p^4 = \frac{A}{B}$, $p^{11} = \frac{C}{B}$. Обозначив через $q$ общий корень второго и третьего уравнений, а через $r$ общий корень третьего и первого уравнений. Аналогично предыдущему, имеем $q^4 = \frac{B}{C}$, откуда $p^{11} q^4 = 1$. Таким же образом получаем равенства $q^{11} r^4 = 1$, $r^{11} p^4 = 1$. Отсюда $p^{11 \cdot 11 \cdot 11} = q^{-4 \cdot 11 \cdot 11} = r^{4 \cdot 4 \cdot 11} = p^{-4 \cdot 4 \cdot 4}$, следовательно $p^{11^3 + 4^3} = 1$, и значит $p = 1$. Аналогично $q = r = 1$. Но тогда 1 является общим корнем всех трёх уравнений.

Замечание. В случае если все три числа $A, B, C$ ненулюемые, решение можно завершить по-другому. Переименовав, если надо, переменные по циклу, можно считать, что $|B|$ — среднее по величине из чисел $|A|, |B|, |C|$. Тогда из полученных выше равенств следует, что одно из чисел $|p|^4 = \frac{|A|}{|B|}$ и $|p|^{11} = \frac{|C|}{|B|}$ не больше единицы, а другое — не меньше единицы. Это возможно лишь тогда, когда оба они равны единице, то есть $|p| = 1$. Аналогично $|q| = |r| = |p| = 1$, и два из чисел $p, q, r$ равны, скажем, $p = q$. Но тогда это число является общим корнем всех трёх уравнений.

Второе решение. Достаточно доказать, что одно из данных уравнений имеет ровно один корень; тогда он будет общим у этого уравнения с каждым из остальных. Рассмотрим среди данных уравнений то, в котором коэффициенты при $x^4$ и свободный член имеют одинаковый знак, пусть для определенности $b = -b' < 0$, $c = -c' < 0$ (случай $b > 0, c > 0$ сводится к случаю $b < 0, c < 0$ домножением уравнения на $-1$). Пусть $a > 0$ (случай $a < 0$ сводится к случаю $a > 0$ заменой переменной $x$ на $-x$).

Покажем, что уравнение $f(x) = 0$, где $f(x) = a x^{11} - b' x^4 - c'$, имеет не более одного корня (на самом деле, оно имеет ровно один корень). Перепишем это уравнение в виде
$$x^4 (a x^7 - b') = c'$$
Видим, что при $x < d = \left(\frac{b'}{a}\right)^{1/7}$ уравнение не имеет решений, так как левая часть отрицательна. На промежутке же $[d, +\infty)$ левая часть монотонно возрастает, поскольку оба сомножителя неотрицательны и возрастают. Значит, на этом промежутке есть не более одного корня.