Будем говорить, что две темы пересекаются по академику, если он интересуется обеими этими темами.

Выберем наибольшее возможное количество непересекающихся тем; пусть это темы $T_1, \dots, T_k$. Предположим, что $k \le 249$. Обозначим через $S$ множество всех академиков, не интересующихся этими темами; тогда их ровно $s = 999 - 3k \ge 252$.

Для каждого двух академиков $a, b \in S$ существует единственная тема $T(a, b)$, интересующая обоих. При этом третий академик, заинтересованный ею, не должен принадлежать $S$, иначе $T(a, b)$ можно добавить к исходным $k$ темам. Значит, его интересует какая-то тема $T_i$. Сопоставим эту тему (и этого академика) паре $(a, b)$.

Итак, каждой из $\frac{s(s-1)}{2}$ пар академиков из $S$ сопоставлена одна из $k$ тем $T_1, \dots, T_k$; значит, какая-то тема $T_i$ сопоставлена не менее, чем $\frac{s(s-1)}{2k} > \frac{s}{2}$ парам. Обозначим эти пары $(a_1, b_1), \dots, (a_d, b_d)$; пусть $T_i$ интересует академиков $x, y, z$. Поскольку $d > \frac{s}{2} > 6$, один из $x, y, z$ сопоставлен хотя бы трём парам $(a_j, b_j)$; пусть, скажем, $x$ сопоставлен парам $(a_1, b_1), \dots, (a_p, b_p)$ ($p \ge 3$), а остальным парам сопоставлены $y$ или $z$.

Заметим, что все пары $(a_1, b_1), \dots, (a_p, b_p)$ не пересекаются: если бы академик $a$ находился в двух из них, то академиков $a$ и $x$ интересовали бы две общих темы. Значит, $p \le \frac{s}{2} < d$, и паре $(a_{p+1}, b_{p+1})$ сопоставлен, скажем, академик $y$. Но тогда $(a_{p+1}, b_{p+1})$ не пересекается с одной из пар $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$, скажем, с $(a_1, b_1)$. Значит, можно из нашего набора тем выбросить $T_i$ и добавить непересекающиеся темы $T(a_1, b_1)$ и $T(a_{p+1}, b_{p+1})$, увеличив количество непересекающихся тем. Противоречие с исходным выбором.