Ответ. 504.

Обозначим полученный правильный 2011-угольник через $M$, его вершины (по часовой стрелке) — через $X_1, X_2, \dots, X_{2011}$, его вписанную окружность через $\omega$, а его центр — через $O$. Назовём прямые, содержащие стороны многоугольника, выделенными.

Заметим, что для любых пяти последовательных вершин $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ многоугольника $M$ существует окружность, отличная от $\omega$, касающаяся прямых $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ (см. рис. 9). Действительно, вершины $A$ и $E$, а также $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $CO$. Тогда точка пересечения внешней биссектрисы угла $ABC$ с прямой $CO$ отлична от $O$ и равноудалена от прямых $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$, а значит, является центром искомой окружности.

Теперь, если Вася нарисует 503 такие окружности для точек $(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)$, $(X_5, X_6, X_7, X_8, X_9)$, $\dots$, $(X_{2009}, X_{2010}, X_{2011}, X_1, X_2)$, а также окружность $\omega$, то любая выделенная прямая будет общей касательной к двум проведённым окружностям. Итак, 504 окружностей достаточно.

Осталось доказать, что окружностей должно быть не менее 504. Каждой выделенной прямой должны касаться хотя бы две окружности. Окружность $\omega$ касается всех 2011 этих прямых. У любой другой окружности есть не более четырёх общих касательных с $\omega$; значит, она касается не более четырёх выделенных прямых. Итак, если окружностей $n$, то всего происходит не более, чем $2011 + 4(n-1)$ касаний окружности с выделенными прямыми; с другой стороны, их должно быть не меньше $2011 \cdot 2 = 4022$. Итак, $2011 + 4(n-1) \ge 2 \cdot 2011$, откуда $n \ge 2011/4 + 1 > 503$, что и требовалось доказать.