The set of all positive integers, along with $\{1\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 2, 3\}$, and $\{1, 2, 3, 4\}$.

First, we check that the sets $\{1\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 2, 3\}$, $\{1, 2, 3, 4\}$, and the set of all positive integers are complete. For the last set, this is obvious; for the first four, note that if positive integers $a$ and $b$ are such that $a+b \le 4$, then either both are $2$, or one of them is $1$; in any of these cases, we have $ab \le a+b$. Thus, if $a+b \in A$, then $ab \in A$.

Now let $A$ be an arbitrary complete set. If $A$ contains some number $k \ge 2$, then by the condition it also contains the number $1 \cdot (k-1) = k-1$. Continuing this process, we obtain that all positive integers not exceeding $k$ lie in $A$. In particular, if $A$ does not contain numbers greater than $4$, then the set $A$ is already listed in the answer.

Now suppose $A$ contains a number $\ell \ge 5$. Define a sequence $\ell_1, \ell_2, \dots$ by $\ell_1 = \ell$, $\ell_{n+1} = 2(\ell_n - 2)$. All these numbers lie in $A$. Indeed, $\ell_1$ lies in $A$ by our assumption, and if $\ell_n = 2 + (\ell_n - 2) \in A$, then $\ell_{n+1} = 2(\ell_n - 2) \in A$. Moreover, $\ell_{n+1} = \ell_n + (\ell_n - 4)$; by induction, we now get that $\ell_{n+1} > \ell_n \ge 5$. Thus, for any positive integer $n$ we have $\ell_n > n$; from the reasoning of the previous paragraph, we now see that $n \in A$. Therefore, all positive integers lie in $A$.

Множество всех натуральных чисел, а также множества $\{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}$ и $\{1,2,3,4\}$.

Для начала проверим, что множества $\{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,2,3,4\}$, а также множество всех натуральных чисел — полные. Для последнего множества это очевидно; для первых четырёх заметим, что если натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+b \le 4$, то либо они оба равны $2$, либо одно из них равно $1$; в любом из этих случаев имеем $ab \le a+b$. Значит, если $a+b \in A$, то и $ab \in A$.

Пусть теперь $A$ — произвольное полное множество. Если $A$ содержит некоторое число $k \ge 2$, то по условию оно также содержит число $1 \cdot (k-1) = k-1$. Продолжая этот процесс, получаем, что все натуральные числа, не превосходящие $k$, лежат в $A$. В частности, если $A$ не содержит чисел, больших $4$, то множество $A$ уже перечислено в ответе.

Пусть теперь в $A$ есть число $\ell \ge 5$. Зададим последовательность $\ell_1, \ell_2, \dots$ соотношениями $\ell_1 = \ell, \ell_{n+1} = 2(\ell_n - 2)$. Все эти числа лежат в $A$. Действительно, $\ell_1$ лежит в $A$ по нашему предположению, а если $\ell_n = 2+(\ell_n-2) \in A$, то и $\ell_{n+1} = 2(\ell_n-2) \in A$. Кроме того, $\ell_{n+1} = \ell_n + (\ell_n - 4)$; по индукции теперь получаем, что $\ell_{n+1} > \ell_n \ge 5$. Значит, для любого натурального $n$ имеем $\ell_n > n$; из рассуждений предыдущего абзаца понимаем теперь, что и $n \in A$. Итак, все натуральные числа лежат в $A$.