Library / Macedonian Junior Mathematical Olympiad /3 of 7

Macedonian Junior Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 4.1 AIME Prove it North Macedonia

Two tangents are drawn from a point $M$ to circle $k$ , that touch it at points $G$ and $H$ . If $O$ is the center of $k$ and $K$ is the orthocenter of the triangle $MGH$ , prove that $\angle GMH = \angle OGK$ .

Од точка $M$ кон кружница $k$ се повлечени две тангенти со допирни точки $G$ и $H$ . Ако $O$ е центарот на $k$ и $K$ е ортоцентарот на триаголникот $MGH$ докажи дека $\angle GMH = \angle OGK$ .

Solutions — 3

Solution 1

Let us notice that $K$ must lie on $OM$ . From $HK \perp GM$ and $OG \perp GM$ , it follows that $HK \parallel OG$ . Analogously $OH \parallel GK$ . From $\overline{OG} = \overline{OH}$ , it follows that $OHKG$ is a rhombus. Let us notice that $O$ , $H$ , $M$ and $G$ lie on the circle with diameter $OM$ . Hence $\angle OGH = \angle OMH$ . Now the statement of the exercise follows from $\angle OGK = 2\angle OGH$ and $\angle GMH = 2\angle OMH$ .

Solution 2

Да забележиме дека $K$ мора да лежи на $OM$ . Од $HK \perp GM$ и $OG \perp GM$ , следува $HK \parallel OG$ . Аналогно $OH \parallel GK$ . Од $\overline{OG} = \overline{OH}$ , следува $OHKG$ е ромб. Да забележиме дека $O$ , $H$ , $M$ и $G$ лежат на кружница со дијаметар $OM$ . Оттука $\angle OGH = \angle OMH$ . Сега тврдењето на задачата следува од $\angle OGK = 2\angle OGH$ и $\angle GMH = 2\angle OMH$ .

Solution 3

Да забележиме дека $K$ мора да лежи на $ОМ$ . Од $\overline{HK} \perp \overline{GM}$ и $\overline{OG} \perp \overline{GM}$ , следува $\overline{HK} \parallel \overline{OG}$ . Аналогно $\overline{OH} \parallel \overline{GK}$ . Од $\overline{OG} = \overline{OH}$ , следува $\overline{OHKG}$ е ромб. Да забележиме дека $O$ , $H$ , $M$ и $G$ лежат на кружница со дијаметар $ОМ$ . Оттука $\angle OGH = \angle OMH$ . Сега тврдењето на задачата следува од $\angle OGK = 2\angle OGH$ и $\angle GMH = 2\angle OMH$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.