Все веса в решении будут измеряться в граммах. Назовём кусок яблока (или само яблоко) большим, если его вес не меньше $25$.

Докажем индукцией по $n$, что $n$ больших яблок суммарного веса $100n$ можно разрезать на большие куски и раздать $n$ детям поровну.

База при $n = 1$ очевидна.

Пусть $n > 1$. Рассмотрим два самых тяжёлых яблока; пусть их веса $a \ge b$. Заметим, что $a + b \ge 200$ (иначе средний вес одного яблока будет меньше, чем $200/2 = 100$).

Выкинем эти два яблока из набора и добавим в него яблоко веса $c = a + b - 100 \ge 100$. По предположению индукции, полученный набор можно разрезать на большие куски и раздать $n-1$ детям поровну.

Если при этом какой-то кусок нового яблока оказался больше $50$, разрежем его на два больших куска. Через несколько таких разрезаний мы придём к ситуации, когда новое яблоко разделено на куски весов $c_1, c_2, \dots, c_k$, не превосходящих $50$. Обозначим $s_d = c_1 + \dots + c_d$ при $d = 1, 2, \dots, k$ и положим $s_0 = 0$.

Покажем теперь, как разрезать исходный набор. Все яблоки, кроме $a$ и $b$, разрежем так же, как и в новом наборе. Заметим, что $a \ge 200/2 = 100$. Обозначим через $t$ минимальный индекс такой, что $a - s_t \le 75$ и отрежем от $a$ куски $c_1, \dots, c_t$, а от $b$ — куски $c_{t+1}, \dots, c_k$. Заметим, что $a - s_{t-1} > 75$, поэтому от $a$ остался кусок $a' = a - s_t = (a - s_{t-1}) - c_t$ такой, что $75 \ge a' > 75 - c_t \ge 25$. От $b$ же остался кусок $b'$ такой, что $a' + b' = a + b - c = 100$, поэтому $25 \le b' \le 75$.

Итак, можно $a'$ и $b'$ отдать одному ребёнку, а остальные куски распределить между остальными детьми так же, как это делалось в новом наборе. Утверждение доказано.