Заметим, что максимум функции $|P(x)|$ не может достигаться в точке $x_i$, ибо $|P(x_i)| = 0$. Рассмотрим произвольную точку $a \in (x_i, x_{i+1})$ при $i < n-1$; положим $t = a - x_i$, $b = x_n - t$. Заметим, что $b \in (x_{n-1}, x_n)$, поскольку $x_n > b > x_n - (x_{i+1} - x_i) > x_n - (x_n - x_{n-1}) = x_{n-1}$. Покажем, что $|P(b)| > |P(a)|$; из этого, очевидно, следует утверждение задачи.
Из условия следует, что $x_{k+m} - x_k < x_{\ell+m} - x_{\ell}$ при $1 \le k < \ell \le n-m$. Поскольку нам известны $n$ корней многочлена $P(x)$, имеем $P(x) = p(x-x_1) \dots (x-x_n)$, где $p$ — старший коэффициент многочлена $P(x)$. Заметим, что $|b-x_s| = x_n - x_s - t > x_{i+n-s} - x_i - t = |x_{i+n-s} - a|$, при $i+1 \le s \le n-1$. Кроме того, $|b-x_r| = b-x_r > x_{n-1} - x_r > a - x_r = |a-x_r|$ при $1 \le r \le i-1$. Перемножая все полученные неравенства с равенством $p|b-x_n||b-x_i| = pt(x_n - x_i - t) = p|a-x_i||a-x_n|$, получаем
$$P(b) = p|b-x_1||b-x_2|\dots|b-x_n| >$$
$$> p|a - x_1| |a - x_2| \dots |a - x_n| = P(a),$$