Maths Olympiad Prep

Library / Russia — Final Round /17 of 23

Russia — Final Round

Algebra Difficulty 7.0 National Olympiad, round 2 Prove it Russia

A polynomial P(x)P(x) of degree n≥3n \ge 3 has nn real roots x1<x2<⋯<xnx_1 < x_2 < \dots < x_n such that x2−x1<x3−x2<⋯<xn−xn−1x_2 - x_1 < x_3 - x_2 < \dots < x_n - x_{n-1}. Prove that the maximum of the function y=∣P(x)∣y = |P(x)| on the segment [x1,xn][x_1, x_n] is attained at a point belonging to the segment [xn−1,xn][x_{n-1}, x_n].

Многочлен P(x)P(x) степени n≥3n \ge 3 имеет nn вещественных корней x1<x2<⋯<xnx_1 < x_2 < \dots < x_n, причем x2−x1<x3−x2<⋯<xn−xn−1x_2 - x_1 < x_3 - x_2 < \dots < x_n - x_{n-1}. Докажите, что максимум функции y=∣P(x)∣y = |P(x)| на отрезке [x1,xn][x_1, x_n] достигается в точке, принадлежащей отрезку [xn−1,xn][x_{n-1}, x_n].

Solution

Заметим, что максимум функции ∣P(x)∣|P(x)| не может достигаться в точке xix_i, ибо ∣P(xi)∣=0|P(x_i)| = 0. Рассмотрим произвольную точку a∈(xi,xi+1)a \in (x_i, x_{i+1}) при i<n−1i < n-1; положим t=a−xit = a - x_i, b=xn−tb = x_n - t. Заметим, что b∈(xn−1,xn)b \in (x_{n-1}, x_n), поскольку xn>b>xn−(xi+1−xi)>xn−(xn−xn−1)=xn−1x_n > b > x_n - (x_{i+1} - x_i) > x_n - (x_n - x_{n-1}) = x_{n-1}. Покажем, что ∣P(b)∣>∣P(a)∣|P(b)| > |P(a)|; из этого, очевидно, следует утверждение задачи.
Из условия следует, что xk+m−xk<xℓ+m−xℓx_{k+m} - x_k < x_{\ell+m} - x_{\ell} при 1≤k<ℓ≤n−m1 \le k < \ell \le n-m. Поскольку нам известны nn корней многочлена P(x)P(x), имеем P(x)=p(x−x1)…(x−xn)P(x) = p(x-x_1) \dots (x-x_n), где pp — старший коэффициент многочлена P(x)P(x). Заметим, что ∣b−xs∣=xn−xs−t>xi+n−s−xi−t=∣xi+n−s−a∣|b-x_s| = x_n - x_s - t > x_{i+n-s} - x_i - t = |x_{i+n-s} - a|, при i+1≤s≤n−1i+1 \le s \le n-1. Кроме того, ∣b−xr∣=b−xr>xn−1−xr>a−xr=∣a−xr∣|b-x_r| = b-x_r > x_{n-1} - x_r > a - x_r = |a-x_r| при 1≤r≤i−11 \le r \le i-1. Перемножая все полученные неравенства с равенством p∣b−xn∣∣b−xi∣=pt(xn−xi−t)=p∣a−xi∣∣a−xn∣p|b-x_n||b-x_i| = pt(x_n - x_i - t) = p|a-x_i||a-x_n|, получаем
P(b)=p∣b−x1∣∣b−x2∣…∣b−xn∣>P(b) = p|b-x_1||b-x_2|\dots|b-x_n| >
>p∣a−x1∣∣a−x2∣…∣a−xn∣=P(a),> p|a - x_1| |a - x_2| \dots |a - x_n| = P(a),

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.