Нехай біля вершин правильного восьмикутника послідовно записані числа $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$.

a) Припустимо, що числа можна розташувати потрібним чином. Тоді
$$\begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 \geq 14, \\ a_2 + a_3 + a_4 \geq 14, \\ \vdots \\ a_8 + a_1 + a_2 \geq 14. \end{cases}$$
Додаючи всі ці нерівності, одержимо: $3(a_1 + a_2 + \ldots + a_8) \geq 8 \cdot 14$. Але $a_1 + a_2 + \ldots + a_8 = 1 + 2 + \ldots + 8 = 36$, тому дістаємо нерівність $3 \cdot 36 \geq 8 \cdot 14$, тобто $108 \geq 112$. Суперечність.

б) Можна покласти, наприклад, $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_3 = 6$, $a_4 = 2$, $a_5 = 4$, $a_6 = 7$, $a_7 = 3$, $a_8 = 8$.

в) Припустимо, що потрібне розміщення чисел існує. Числа $2$ і $3$ не можна записати в сусідніх вершинах, інакше і зліва і справа від них мало б стояти число $8$, яке не може зустрітись двічі. Далі, не порушуючи загальності, можна вважати, що $a_1 = 1$, тоді жодне з чисел $a_2, a_3, a_7, a_8$ не дорівнює ані $2$ ані $3$, а тому або $a_4 = 2$ і $a_6 = 3$, або $a_4 = 3$ і $a_6 = 2$. У обох цих випадках маємо $a_5 = 8$. Отже, $a_2, a_3, a_7$ та $a_8$ — це записані в деякому порядку числа $4, 5, 6, 7$, і тому $(a_1 + a_2 + a_3) + (a_7 + a_8 + a_1) = 24$ та сума принаймні в одній з дужок є меншою за $13$. Суперечність.

Відповідь: а) Не можна. б) Можна. в) Не можна.