Лемма. Для любой клетки доски $X$ существует множество $S$, состоящее из чётного количества клеток и содержащее $X$, такое, что у каждой клетки доски чётное число соседей лежит в $S$.

Доказательство. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке; можно считать, что $X$ — чёрная. Для начала рассмотрим одну из диагоналей, проходящих через $X$; пусть $A$ и $B$ — центры двух крайних клеток этой диагонали, а $C$ и $D$ — точки, симметричные им относительно центра доски. Тогда обозначим через $S$ множество всех чёрных клеток, центры которых лежат внутри или на границе прямоугольника $ABCD$. На рис. 15 показаны возможные виды множества $S$ на доске $8 \times 8$ (прямоугольники $ABCD$ обозначены пунктиром).

Множество $S$ состоит из чётного числа клеток, поскольку количества центров клеток на сторонах $AB$ и $AD$ имеют разную чётность. Далее, чёрные клетки не имеют соседей в $S$, каждая белая клетка внутри $ABCD$ граничит с четырьмя клетками из $S$, а каждая белая клетка вне него — либо с нулём, либо с двумя клетками из $S$. Итак, множество $S$ удовлетворяет всем условиям.

Перейдём к решению задачи. Предположим, что существует ровно одна красивая клетка $X$. Рассмотрим для этой клетки множество $S$ из леммы. Для каждой клетки этого множества посчитаем количество фишек в соседних с ней клетках; пусть $g$ — сумма всех этих количеств. С одной стороны, в $S$ чётное число клеток, из которых ровно одна красива, а все остальные — нет; поэтому сумма $g$ нечётна. С другой стороны, каждая клетка с фишкой имеет чётное число соседей в $S$, поэтому она даёт чётный вклад в $g$; значит, и $g$ должна быть чётной. Противоречие.