Proof: First, prove the left inequality, eliminate the denominator
$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt{a(a+3 b)}+\sqrt{b(3 a+b)} \\ \leqslant \sqrt{(3 a+b)(a+3 b)} \\ \Leftrightarrow \sqrt{a b(a+3 b)(3 a+b)} \leqslant a^{2}+b^{2}+2 a b \\ \Leftrightarrow \sqrt{a b(a+3 b)(3 a+b)} \leqslant(a+b)^{2} . \\ \because \sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2}, \\ \sqrt{(a+b)} \cdot \sqrt{(2 a+b)} \leqslant \frac{(a+3 b)+(3 a+b)}{2} \\ =2(a+b), \end{array}$$
$\therefore \sqrt{a b(a+3 b)(3 a+b)} \leqslant(a+b)^{2}$, proved.
Next, prove the right inequality, eliminate the denominator
$$\begin{aligned} \Leftrightarrow & \sqrt{(a+3 b)} \sqrt{(3 a+b)} \leqslant \sqrt{a(3 a+b)} \\ & +\sqrt{b(a+3 b)} \\ \Leftrightarrow & 4 a b \leqslant \sqrt{a b(a+3 b)(3 a+b)} \\ \Leftrightarrow & 16 a b \leqslant(a+3 b)(3 a+b) \\ \Leftrightarrow & 2 a b \leqslant a^{2}+b^{2}, \text { proved. } \end{aligned}$$