Track / Stage 7 / 73 of 300 #1953 of 2444

Problem 1953

National Olympiad second round; IMO P1/P4

Geometry Difficulty 7.1 Prove it Russia — Final Round · Russia

Given a nonisosceles acute-angled triangle $ABC$ . Let $O$ be its circumcenter, let $AD$ be its altitude, and let $M$ be the midpoint of side $BC$ . The lines passing through $O$ , perpendicular to $AB$ and $AC$ , intersect $AD$ at points $P$ and $Q$ , respectively. Let $S$ be the circumcenter of triangle $OPQ$ . Prove that $\angle BAS = \angle CAM$ .

Через центр $O$ окружности, описанной около неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ , проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ . Эти прямые пересекают высоту $AD$ треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$ . Точка $M$ — середина стороны $BC$ , а $S$ — центр окружности, описанной около треугольника $OPQ$ . Докажите, что $\angle BAS = \angle CAM$ .

This one wants a proof. Work it on paper, then read the official solution and mark yourself. Be honest about it: the record is only any use to you if it is.

Official solution

Пусть для определённости $AB > AC$ (см. рис. 19). Обозначим через $L$ середину отрезка $AB$ . Заметим, что $\angle AOL = \frac{1}{2} \angle AOB = \angle ACB$ . Отсюда $\angle BAO = 90^\circ - \angle AOL = 90^\circ - \angle ACB = \angle CAD$ .

Рис. 19
Стороны треугольника $OPQ$ перпендикулярны соответственно сторонам треугольника $ABC$ , поэтому $\triangle OPQ$ подобен $\triangle ABC$ : он получается из $\triangle ABC$ последовательным выполнением поворота на $90^\circ$ и гомотетии с некоторым коэффициентом $k$ . Так как $OS$ и $AO$ — соответственные отрезки в треугольниках $OPQ$ и $ABC$ , то $OS \perp AO$ и $OS = k \cdot AO$ . Далее, отрезок $MD$ равен высоте треугольника $OPQ$ , проведенной к стороне $PQ$ , поэтому $MD = k \cdot AD$ . Значит, прямоугольные треугольники $AOS$ и $ADM$ подобны, поэтому $\angle SAO = \angle MAD$ .

Окончательно, $\angle BAS = \angle BAO + \angle SAO = \angle CAD + \angle MAD = \angle CAM$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty, ordering) added by this project.