Problem 634

Solution:

$$2 x y = 7(x + y), \quad \text{com} \quad x > 0, y > 0 \text{ e } x \neq y$$
Como $2$ e $7$ são números primos, segue que $7$ divide $x$ ou $y$. Como a equação é simétrica em $x$ e $y$, podemos supor que $7$ divide $x$. Então, $x = 7k$, para algum $k > 0$ inteiro e decorre que $2 \times 7k y = 7(7k + y)$, ou seja, simplificando, $2k y = 7k + y$ ou, ainda,
$$(2k - 1) y = 7k = x$$
Se $7$ dividisse $y$, teríamos $y = 7m$, para algum $m > 0$ inteiro. Nesse caso, teríamos $49 \times 2k m = 2 x y = 7(x + y) = 49(k + m)$, acarretando $2k m = k + m$. Mas, então
$$2 = \frac{k + m}{k m} = \frac{1}{k} + \frac{1}{m} \leq 1 + 1 = 2$$
o que significa que $k = m = 1$ e, portanto, $x = 7 = y$. Como queremos $x \neq y$, concluímos que $7$ não divide $y$, de modo que $7$ divide $2k - 1$. Tomando $k = 4$, resulta $x = 28$ e
$$y = \frac{7k}{2k - 1} = \frac{28}{7} = 4$$
fornecendo a solução
$$\frac{1}{28} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$$

Observação: A solução obtida é única. De fato, como $2k - 1$ é, sempre, ímpar e $7$ divide $2k - 1$, o múltiplo de $7$ que é igual a $2k - 1$ deve ser ímpar. Assim, existe algum inteiro $n > 0$ tal que
$$7(2n - 1) = 2k - 1$$
Isso acarreta que $k = 7n - 3$ e, portanto,
$$y = \frac{7k}{2k - 1} = \frac{7(7n - 3)}{7(2n - 1)} = \frac{7n - 3}{2n - 1} = \frac{3(2n - 1) + n}{2n - 1} = 3 + \frac{n}{2n - 1}$$
Como $y$ deve ser inteiro, concluímos que $2n - 1$ divide $n$, de modo que $2n - 1 \leq n$. No entanto, $n \geq 1$ e, portanto, $2n - 1 \geq n$. A única possibilidade é $2n - 1 = n$ e, portanto, $n = 1$. Segue que $k = 4$ e $x = 28$ dão a única solução.