Let $O$ be the center of $ABC$, and $B_1$ and $C_1$ be the midpoints of the lesser arcs $AC$ and $AB$ of $\Omega$, respectively. Then the triangles $OPB_1$ and $OQC_1$ are isosceles (see Fig. 8). Next, the rays $B_1P$ and $C_1Q$ meet at a point $B' = C'$ on $\Omega$ which is one of the common points of $\Omega_b$ and $\Omega_c$. Let the extension of $B'O$ beyond $O$ meet $\omega$ at a point $X$; then $B'O \cdot XO = BO \cdot B_2O$, where $B_2$ is the tangency point of $\omega$ with $AC$ (lying on $\Omega_b$). Thus $X$ lies on $\Omega_b$ and, similarly, on $\Omega_c$.

Пусть $O$ — центр треугольника $ABC$. Обозначим через $B_2$ и $C_2$ точки касания $\omega$ с $AC$ и $AB$ соответственно, а через $B_1$ и $C_1$ — середины меньших дуг $AC$ и $AB$ описанной окружности $\Omega$ (см. рис. 8). Тогда точки $B_1$ и $C_1$ симметричны: $\angle OB_1P = \angle B_1OP$ и $\angle OC_1Q = \angle C_1OQ$.

Пусть лучи $B_1P$ и $C_1Q$ пересекают $\Omega$ в точках $B'$ и $C'$. $B'$ лежит на $\Omega_b$, аналогично, $C'$ лежит на $\Omega_c$. С другой стороны, $BB' + CC' = 2(\angle BB_1B' + \angle CC_1C') = 2(\angle B_1OP + \angle C_1OQ) = 2(180^\circ - \angle B_1OC_1) = 120^\circ = BC$; это означает, что точки $B'$ и $C'$ совпадают. Итак, $\Omega_b$ и $\Omega_c$ пересекаются в точке $B'$, лежащей на $\Omega$.

Поскольку $\angle BB_2P = \angle CC_2Q = 90^\circ$, точки $B_2$ и $C_2$ лежат на $\Omega_b$ и $\Omega_c$ соответственно. Пусть продолжение отрезка $B'O$ за $O$ пересекает $\omega$ в точке $X$. Тогда $OB \cdot OB_2 = OB' \cdot OX = OC \cdot OC_2$. Первое из этих равенств означает, что точки $B, B_2, B'$ и $X$ лежат на одной окружности, то есть $X$ лежит на окружности $\Omega_b$.

Аналогично, из второго равенства следует, что $X$ лежит на $\Omega_c$. Значит, $X$ и является второй точкой пересечения $\Omega_b$ и $\Omega_c$, лежащей на $\omega$.