Пусть $n \ge 2018$. Заметим, что $P_n(a) = P_n(-a)$ при всех $a$. Значит, поскольку $P_n(x)$ имеет ненулевой корень, он имеет и отрицательный корень, откуда $a_{n+1} < 0$.

Далее, поскольку $P_{n+1}(x) = x^2 P_n(x) + a_{n+1}$, имеем
$$P_{n+1}(a_{n+1}) = a_{n+1}^2 P_n(a_{n+1}) + a_{n+1} = 0 + a_{n+1} < 0. \ (*)$$

Так как степень многочлена $P_{n+1}(x)$ чётна, а старший коэффициент положителен, при достаточно больших по модулю отрицательных $x$ он принимает положительные значения. Теперь из (*) следует, что у этого многочлена есть корень на интервале $(-\infty, a_{n+1})$. Значит, и $a_{n+2} < a_{n+1}$.

Итак, мы получили, что $a_{n+2} < a_{n+1}$ при всех $n \ge 2018$. Это означает, что последовательность $(a_{2019}, a_{2020}, a_{2021}, \dots)$ — убывающая.