Let $K_A$, $K_B$, and $K_C$ be the midpoints of the segments $AM$, $BM$, and $CM$, respectively (see Fig. 24). By angle chasing, one sees that the circles $MK_AK_BM_B$, $M_BK_CM_A$, and $MAK_BM_C$ are concurrent at some point $X$. This point belongs to the circles $\Omega_A$, $\Omega_B$, and $\Omega_C$: for example, one sees that $X \in \Omega_B$ from
$$\begin{aligned} \angle(K_BX, XM_B) &= \angle(K_BX, XM_C) + \angle(M_CX, XM_B) = \\ &= \angle(K_BM_A, M_A M_C) + \angle(M_C K_A, K_A M_B) = \\ &= \angle(MC, CA) + \angle(BM, MC) = \angle(BM, CA) = \angle(K_B M_B, AC). \end{aligned}$$

Лемма. Пусть на сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены треугольники $A_1BC, AB_1C$ и $ABC_1$ так, что сумма их углов при вершинах $A_1, B_1$ и $C_1$ кратна $180^\circ$. Тогда окружности, описанные около треугольников $A_1BC, AB_1C$ и $ABC_1$, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть окружности, описанные около треугольников $A_1BC$ и $ABC_1$, вторично пересекаются в точке

$$\angle(AX, XC) = \angle(AX, XB) + \angle(BX, XC) = \\ = \angle(AC_1, C_1B) + \angle(BA_1, A_1C) = \angle(AB_1, B_1C).$$
Это означает, что $X$ лежит на окружности, описанной около треугольника $AB_1C$, что и требовалось. $\square$

Рис. 23

Пусть $K_A, K_B$ и $K_C$ — середины отрезков $AM, BM$ и $CM$ соответственно (см. рис. 24). Тогда $MK_CK_BM_A = \angle AMC$. Аналогично, $\angle MK_CK_A M_B = \angle BMC$ и $\angle M_A K_C M_B = \angle BMA$; значит, $\angle MK_CK_A M_B + \angle M_B K_C M_A + \angle M_A K_B M_C = 360^\circ$.
Согласно лемме, окружности, описанные около треугольников $MK_CK_A M_B, M_BK_C M_A$ и $M_A K_B M_C$, имеют общую точку $X$. Из этих окружностей имеем
$$\begin{align*} \angle(K_BX, XM_B) &= \angle(K_BX, XM_C) + \angle(M_CX, XM_B) = \\ &= \angle(K_BM_A, M_A M_C) + \angle(M_C K_A, K_A M_B) = \\ &= \angle(MC, CA) + \angle(BM, MC) = \angle(BM, CA) = \angle(K_B M_B, AC). \end{align*}$$
Это равенство означает, что окружность $\Omega_B$ проходит через точку $X$. Аналогично, через $X$ проходят окружности $\Omega_A$ и $\Omega_C$.