Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /114 of 152

Geometry Difficulty 7.0 National Olympiad Prove it Russia

On each side of a triangle $ABC$ , two points are chosen: points $C_1$ and $C_2$ on side $AB$ , points $B_1$ and $B_2$ on $AC$ , and points $A_1$ and $A_2$ on $BC$ . It happened that the segments $A_1B_2$ , $B_1C_2$ , and $C_1A_2$ have equal length, meet at one point, and the angle between any two of them is $60^\circ$ . Prove that
$\frac{A_1A_2}{BC} = \frac{B_1B_2}{CA} = \frac{C_1C_2}{AB}.$
(I. Bogdanov)

Solution

Заметим, что
$\overrightarrow{A_1B_2} + \overrightarrow{B_2A_1} + \overrightarrow{B_1C_2} + \overrightarrow{C_2C_1} + \overrightarrow{C_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_1} = \overrightarrow{0}. \quad (*)$
По условию имеем $A_1B_2 = B_1C_2 = C_1A_2$ , и угол между любыми двумя из трех прямых $A_1B_2$ , $B_1C_2$ , $C_1A_2$ равен $60^\circ$ . Поэтому, если векторы $\overrightarrow{A_1B_2}$ , $\overrightarrow{B_1C_2}$ и $\overrightarrow{C_1A_2}$ отложить последовательно друг за другом (каждый следующий от конца предыдущего), то получится правильный треугольник, откуда $\overrightarrow{A_1B_2} + \overrightarrow{B_1C_2} + \overrightarrow{C_1A_2} = \overrightarrow{0}$ . Отсюда и из $(*)$ получаем $\overrightarrow{A_2A_1} + \overrightarrow{B_2B_1} + \overrightarrow{C_2C_1} = \overrightarrow{0}$ .

Следовательно, отложив векторы $\overrightarrow{A_2A_1}$ , $\overrightarrow{B_2B_1}$ , $\overrightarrow{C_2C_1}$ от некоторой точки последовательно друг за другом, мы получим некоторый треугольник $T$ . Стороны треугольника $T$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $ABC$ , поэтому эти треугольники подобны. Из этого подобия и вытекает требуемое равенство.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.