Відповідь: $f(x) = 0$, $x \in \mathbb{R}$; $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$.

З вихідного співвідношення отримуємо, що
$$(x - y)^2 f(x + y) = (x + y)^2 f(x - y).$$
Покладемо $x = \frac{t+1}{2}$, $y = \frac{t-1}{2}$ і одержимо, що $1^2 \cdot f(t) = t^2 \cdot f(1)$ при всіх $t \in \mathbb{R}$. Звідси випливає з необхідністю, що функцію $f$ слід шукати у вигляді $f(x) = \lambda x^2$, де $\lambda \in \mathbb{R}$. Таким чином, для будь-яких $x, y \in \mathbb{R}$ має виконуватися рівність $\lambda(\lambda x^2 - y^2)^2 = (x - y)^2 \cdot \lambda(x + y)^2$. Беручи $x = 1$ і $y = 1$, знаходимо, що $\lambda \in \{0; 1\}$. Перевірка свідчить, що обидві наведені у відповіді функції задовольняють умову.