Ukrainian Mathematical Olympiad

Позначимо значення даного виразу через $a_n$. Маємо:
$$\begin{aligned} a_n &= 25^n + 5^n - 18^n - 12^n = (25^n - 18^n) - (12^n - 5^n) = \\ &= (25 - 18)(25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 18 + \dots + 25 \cdot 18^{n-2} + 18^{n-1}) - \\ &\quad -(12 - 5)(12^{n-1} + 12^{n-2} \cdot 5 + \dots + 12 \cdot 5^{n-2} + 5^{n-1}). \end{aligned}$$
Оскільки $25 - 18 = 12 - 5 = 7$, то $a_n$ ділиться без остачі на $7$. Аналогічно,
$$\begin{aligned} a_n &= 25^n + 5^n - 18^n - 12^n = (25^n - 12^n) - (18^n - 5^n) = \\ &= (25 - 12)(25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 12 + \dots + 25 \cdot 12^{n-2} + 12^{n-1}) - \\ &\quad -(18 - 5)(18^{n-1} + 18^{n-2} \cdot 5 + \dots + 18 \cdot 5^{n-2} + 5^{n-1}), \end{aligned}$$
тому $a_n$ ділиться без остачі на $13$. Оскільки $7$ і $13$ взаємно прості, то $a_n$ ділиться без остачі на $7 \cdot 13 = 91$.