$(x, y) = (2, 0)$ and $(x, y) = (0, 2)$.

Set $x = 2a$, $y = 2b$. We have $a^{100} - b^{100} = a^{200} - b^{200} = a - b \neq 0$, whence $a^{100} + b^{100} = 1$. The case $ab = 0$ is easy. Assume that $ab \neq 0$; then $|a|, |b| < 1$. Since $a^{100} - a = b^{100} - b$, we have $ab > 0$. Now,
$$1 = \left| \frac{a^{100} - b^{100}}{a-b} \right| = \left| a^{99} + a^{98}b + a^{97}b^2 + \dots + b^{99} \right| > \\ > |a^{99} + b^{99}| > a^{100} + b^{100} = 1.$$

$(x, y) = (2, 0)$ и $(x, y) = (0, 2)$.

Для удобства сделаем замену $x = 2a$ и $y = 2b$. Тогда из условия имеем $(2a)^{100} - (2b)^{100} = 2^{99} \cdot (2a - 2b)$ и $(2a)^{200} - (2b)^{200} = 2^{199} \cdot (2a - 2b)$. Сократив оба равенства на степени двойки, получаем $a^{100} - b^{100} = a^{200} - b^{200} = a - b \neq 0$. Поделив второе выражение на первое, получаем $a^{100} + b^{100} = 1$; значит, каждое из чисел $a$ и $b$ по модулю не превосходит 1.

Если $b = 0$, то $a^{100} = a$, откуда $a = 1$. Аналогично, если $a = 0$, то $b = 1$; это приводит к двум ответам $(x, y) = (2, 0)$ и $(x, y) = (0, 2)$.

Пусть теперь $ab \neq 0$; тогда $|a|, |b| < 1$. Заметим, что значения функции $f(x) = x^{100} - x = x(x^{99} - 1)$ положительны при $x \in (-1, 0)$ и отрицательны при $x \in (0, 1)$. Поскольку $a^{100} - b^{100} = a - b$, имеем $f(a) = f(b)$, поэтому числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак.

С другой стороны,
$$1 = \frac{a^{100} - b^{100}}{a - b} = a^{99} + a^{98}b + a^{97}b^2 + \dots + b^{99}. \quad (*)$$

Если $a$ и $b$ отрицательны, то правая часть в $(*)$ также отрицательна, что невозможно. Если же $a$ и $b$ положительны, то все слагаемые в правой части $(*)$ положительны, поэтому она больше, чем $a^{99} + b^{99}$; итак, $a^{99} + b^{99} < 1$. С другой стороны, поскольку $0 < |a|, |b| < 1$, имеем $a^{99} + b^{99} > a^{100} + b^{100} = 1$. Противоречие.