Russian Mathematical Olympiad

Ответ. 75 раз.
Обозначим $n = 2009$. Рассмотрим функцию $\cos \frac{x}{k}$. Она меняет знак при
$$x = k \left( \pi m + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{k(2m + 1)\pi}{2},$$
где $m$ — произвольное целое число. Значит, нулями функции $f(x)$ могут являться только точки $x_i = \frac{\pi i}{2}$, где $1 \le i \le n$. Тогда менять знак она может лишь в точках $x_i$ при $i = 1, 2, ..., n-1$.
Функция $\cos \frac{x}{k}$ меняет знак в точке $x_i$, если $i = k(2m+1)$ при целом $m$. Значит, количество косинусов, которые меняют знак в точке $x_i$, совпадает с количеством нечетных делителей числа $i$. Поэтому функция $f(x)$ будет менять знак в тех и только тех
точках $x_i$, для которых у числа $i$ нечетное количество нечетных делителей. Представим $i = 2^\ell j$, где $\ell$ целое, а $j$ нечетно. Тогда количество нечетных делителей у чисел $i$ и $j$ совпадает. Но у нечетного числа $j$ количество делителей нечетно тогда и только тогда, когда $j$ — это точный квадрат (действительно, если $j$ — не квадрат, то все его делители разбиваются на пары $a$ и $\frac{i}{a}$; если же $j = s^2$, то число $s$ — единственное оставшееся без пары).
В итоге получаем, что функция $f(x)$ меняет знак в точке $x_i$, если число $i$ — либо квадрат, либо удвоенный квадрат (в зависимости от четности числа $\ell$). Но среди чисел от 1 до $(n-1)$ есть $[\sqrt{n-1}]$ квадратов, и $[\sqrt{\frac{n-1}{2}}]$ удвоенных квадратов. Значит, искомое количество равно $[\sqrt{n-1}] + [\sqrt{\frac{n-1}{2}}] = 44+31 = 75$.