Let $\omega$ touch $BC$ at $A''$. We assume that $A''Y < A''Z$. Let $\omega'$ be the excircle of the triangle $XYZ$ touching the side $XZ$, and let $T$ be the meeting point of $\omega$ and $AA'$ closest to $A$; the tangent at $T$ to $\omega$ is parallel to $BC$. The homothety centered at $X$ mapping $\omega$ to $\omega'$ maps $T$ to $AA' \cap BC = A'$. Therefore, $XY + XZ = A'A''$ which does not depend on $X$.

Будем считать, что точка $Y$ лежит ближе к точке $B$, нежели $Z$; кроме того, считаем, что сторона $BC$ горизонтальна, а $A$ лежит выше неё (см. рис. 15).

Обозначим через $\omega_A$ вневписанную окружность треугольника $ABC$, касающуюся стороны $BC$, а через $\omega'$ — вневписанную окружность треугольника $XYZ$, касающуюся стороны $XZ$.

Пусть $\omega$ касается $BC$ в точке $A''$. Обозначим через $T$ точку пересечения $AA'$ и $\omega$, лежащую ближе к $A$. Гомотетия с центром $A$, переводящая $\omega$ в $\omega_A$, переводит $T$ в $A'$; значит, касательная к $\omega$ в $T$ параллельна $BC$.
Поскольку окружности $\omega$ и $\omega'$ вписаны в вертикальные углы, образованные прямыми $XY$ и $XZ$, существует гомотетия с центром в $X$ (и отрицательным коэффициентом), переводящая $\omega$ в $\omega'$. Пусть при этой гомотетии точка $T$ переходит в точку $T'$. Тогда $T'$ лежит на прямой $AA'$, касательная к $\omega'$ в $T'$ параллельна $BC$, и $\omega'$ лежит выше этой касательной. Такая касательная к $\omega'$ — это прямая $BC$; значит, $T'$ лежит на $BC$, то есть $\omega'$ касается $BC$ в точке $A'$.

Обозначим полупериметр треугольника $XYZ$ через $p$. Так как окружности $\omega$ и $\omega'$ — вневписанные для этого треугольника, имеем $ZA' = YA'' = p - YZ$. Значит,
$$XY + XZ = 2p - YZ = 2(p - YZ) + YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'', \text{ что не зависит от выбора точки } X.$$

Замечание. Тот факт, что $\omega'$ касается $BC$ в точке $A'$, можно также доказать, применив теорему о трёх гомотетиях к окружностям $\omega, \omega_A$ и $\omega'$. Центры гомотетий, переводящих их друг в друга, есть $A, X$ и некоторая точка $Q$, лежащая на $BC$ (так как $BC$ — внутренняя общая касательная к $\omega_A$ и $\omega'$). Получаем, что $Q$ лежит на прямой $AX$, то есть совпадает с $A'$. Поскольку $\omega_A$ касается $BC$ в $Q = A'$, то и $\omega'$ также касается $BC$ в этой же точке.