Используя окружности $(PABC)$ и $(PA_1B_1C)$, получаем $\angle PAB = 180^\circ - \angle PCB = \angle PA_1B_1$ и аналогично $\angle PBA = \angle PB_1A_1$. Тем самым, $\angle PAB \sim \angle PA_1B_1$. Из этого подобия вытекает, что $\angle APAA_1 = \angle APB \pm \angle BPA_1 = \angle BPB_1$ и $PA/PA_1 = PB/PB_1$. Следовательно $\angle PAA_1 \sim \angle PBB_1$, и существует поворотная гомотетия $h$ с центром $P$, переводящая $\overrightarrow{AA_1}$ в $\overrightarrow{BB_1}$. Угол поворота для $h$ равен $\angle APB = \angle ACB$ (см. рис. 18).

Треугольник $A_1QA$ равен треугольнику $A_1SA$, который в свою очередь подобен треугольнику $B_1SB$ (так как $AA_1B_1B$ – вписанный). Итак, треугольники $A_1QA$ и $B_1SB$ подобны и одинаково ориентированы, поэтому $S = h(Q)$ и, значит, $\angle QPS = \angle ACB$. Аналогично, $\angle SPR = \angle ACB$. Тогда $\angle QPR = 2\angle ACB$.

Но $\angle QCR = \angle QCA + \angle ABC + \angle BCR = \angle ACS + \angle ABC + \angle SCB = 2\angle ABC$. Итак, мы доказали равенство $\angle QPR = \angle QCR$, из которого следует утверждение задачи.

Замечание 1. Фактически в решении используется известное описание точки Микеля четверки прямых $AB$, $CA$, $BC$, $A_1B_1$ как центра поворотной гомотетии, переводящей $\overrightarrow{AA_1}$ в $\overrightarrow{BB_1}$.

Замечание 2. Равенства углов $\angle QPS = \angle ACB = \angle SPR$ можно доказать разными способами. Укажем ещё одну из возможных схем.

Пусть $Q_1$ и $R_1$ — проекции $S$ на $CA$ и $CB$ соответственно. Можно показать, что точки $C$, $P$, $Q_1$, $R_1$, $S$ лежат на одной окружности $\Gamma$ с диаметром $CS$. Прямые $CP$, $A_1B_1$ и $AB$ — радикальные оси трёх окружностей из условия, они пересекаются в одной точке $S'$. Отсюда несложно понять, что четвёрка прямых $CA$, $CP$, $CB$, $CS$ гармоническая. Проецируя из $C$ на $\Gamma$, получаем, что $SQ_1PR_1$ гармонический. Отсюда $PR_1/R_1S = PQ_1/Q_1S = PQ_1/Q_1Q$, откуда $\angle PQ_1S \sim \angle PR_1R$ (а также $\angle PQ_1Q \sim \angle PR_1S$), из чего следуют нужные равенства углов.